Wstęp

Pojęcie relacji ancestralne odgrywa w dzisiejszej logice fundamentalną rolę. Konstrukcję pojęcia w obrębie sformalizowanego systemu logiki przeprowadzili po raz pierwszy Whitehead i Russell, opierając jego definicję na pojęciu zbioru. Ściśle rzecz biorąc, pojęcia, zbioru w ich systemie zdefiniować się nie da, ale można omawiać dowolne własności zbiorów, wprowadzając w ich miejsce odpowiadające im funkcje zdaniowe. Wiadomo, że system logiki, który u samych już podstaw zakłada pojęcie zbioru, musi uwzględniać postulaty teorii typów, aby uchronić się od sprzeczności. W systemie takim musimy użyć do budowy relacji ancestralnej dwóch różnych typów logicznych. Z punktu widzenia formalnego wystąpią zatem w naszej konstrukcji kwantyfikatory odnoszące się do indywiduów oraz kwantyfikatory omawiające zbiory indywiduów.

Semantyczną budowę systemu logiki rozpoczynamy konstrukcją systemu semantyki elementarnej, w którym omawiamy tylko własności wyrażeń przy pomocy zmiennych rzeczywistych i pozornych. System taki nie zawiera w ogóle kwantyfikatorów odnoszących się do zbiorów wyrażeń. Z drugiej strony system semantyki elementarnej jest punktem wyjściowym badań metamatematycznych, których bez pojęcia funkcji ancestralnych prowadzić nie potrafimy.

W pracy niniejszej zajmę się przezwyciężeniem powyższych trudności i wykażę, że metody semantyki elementarnej wystarczają w zupełności do konstrukcji pojęcia relacji ancestralnej, a nawet pozwalają na znaczne jego uogólnienie. Jako punkt wyjścia naszych rozważań posłuży mi system semantyki elementarnej, który ogłosiłem w r. 1936[1], a który tutaj pokrótce omówię, ograniczając się do najważniejszych jego twierdzeń i pojęć.

Otóż przez wyrażenie stałe rozumiemy dowolny układ znaków ∗, c, który potrafimy zbudować przez kolejne stosowanie dwóch reguł:

1. 0 jest wyrażeniem stałym.

2. Jeśli E, F są wyrażeniami stałymi, to ∗EF jest wyrażeniem stałym. Wyrażenia stałe opisujemy w naszym systemie przy pomocy zmiennych rzeczywistych, które oznaczamy literami alfabetu greckiego i zmiennych pozornych, które oznaczamy literami alfabetu łacińskiego. W razie potrzeby dodajemy poszczególnym zmiennym orientacyjne wskaźniki. Wprowadzamy teraz relację {EF} jako pojęcie fundamentalne systemu. Oznacza ona, że wyrażenie F jest zawarte we wyrażeniu E. Jeśli E, F są wyrażeniami, relacja {EF} stanowi najprostszy sąd, jaki umiemy zbudować. Do rozbudowy sądów używamy znanego z logiki zdań operatora Sheffera ∣ przy pomocy którego definiujemy w znany sposób inne funktory logiki zdań: ∨, ∼, ⊃, ∧, ≡, oraz kwantyfikatora ogólnego ∏.

Jeśli E, F są wyrażeniami, to sąd = EF wprowadzamy jako skrót sądu ∧ {EF} {FE} . Pojęcie {EF} charakteryzujemy przy pomocy trzech aksjomatów semantycznych, do których dołączamy aksjomat logiczny Nicoda. Lista aksjomatów semantycznych jest następująca:


S1 ⊦ ≡ { ∗αβ ∗γδ} ∨ {α∗γδ} ∨ {β∗γδ}∧ = αγ = βδ
S2 ⊦ {α0}
S3 ⊦ ∼ {0∗αβ}

Twierdzenia naszego systemu otrzymamy, wychodząc z jego aksjomatów i stosując cztery reguły postępowania:

1. reguła podstawiania za zmienną rzeczywistą dowolnychwyrażeń,

2. reguła dedukcji i uogólnienia ,

3. reguła modus ponens trójczłonowego ,

4. reguła indukcji semantycznej

Szczegółową konstrukcję takiego systemu podałem w "Podstawach semantyki". Zestawimy teraz najważniejsze twierdzenie semantyczne, które tam uzyskałem:


S15 ⊦ = αα
S16 ⊦ ⊃ = αβ = βα
S12 ⊦ ⊃ ∧ = αβ = βγ = αγ
S10 ⊦ ≡ = ∗αβ ∗γδ∧ = αγ = βδ
S4 ⊦ {αα}
S12 ⊦ ⊃ ∧ {αβ} { βγ} {αγ}
S11 ⊦ ≡ {∗αβλ} ∨ {∗αλ} ∨ {∗βλ} = ∗αβλ
S7 ⊦ ∧ ∼ {α∗αβ} ∼ {β∗αβ}

Twierdzenia powyższe posiadają podstawowe znaczenie i korzystamy z nich (nieraz wielokrotnie) przy dowodzie każdego niemal nowego twierdzenia naszego systemu. Ponadto rozumowanie nasze będziemy często opierać na następującej uwadze: jeśli S(λ) oznacza dowolny sąd naszego systemu, to w każdym konkretnym wypadku zachodzi twierdzenie:

⊦ ⊃ = λμ ≡ S(λ) S(μ) [2]

Wszystkie wymienione twierdzenia stosować będziemy w dalszym ciągu w sposób intuicyjny nie wyszczególniając, na które z nich powołujemy się w danym wypadku. To samo odnosić się będzie do elementarnych twierdzeń z rachunku zdań i kwantyfikatorów. Zupełnie ścisłe i precyzyjne dowody są konieczne jedynie przy wyprowadzeniu początkowych twierdzeń systemu. Później stają się one zbyteczną i nużącą pedanterią, a wielka ilość szczegółów małej wagi utrudnia tylko zrozumienie myśli przewodniej dowodu.

Po tych uwagach wstępnych przechodzimy do właściwego zagadnienia. Rozważmy dowolny sąd B(α λ) naszego systemu. Sąd taki wyznacza jednoznacznie pewną relację ancestralną R(α λ), której czynią zadość wyrażenia X, Y wtedy i tylko wtedy, jeśli zachodzi B(XY) lub jeśli istnieje ciąg skończony wyrażeń X 1...X n spełniających związki: B(X1X2),... ...B(Xn Y), Wprowadzamy teraz oprócz sądu B(α λ) sąd A(λ). Te dwa sądy (nazywać je będziemy wyjściowymi) wyznaczają nam znowu w sposób jednoznaczny funkcję zdaniową Φ (λ) (nazywać ją będziemy funkcją ancestralną), której czyni zadość wyrażenie Y wtedy i tylko wtedy, jeśli zachodzi A(Y) lub jeśli istnieje ciąg skończony wyrażeń X 1...X n spełniający związki: A(X 1)1 B(X 1X 2),... B(XnY). Jeśli w szczególności sąd A (λ) jest równy sądowi B(α λ), to musi zachodzić związek ≡ R(α λ) Φ (λ). Relacja R(α λ) stanowi zatem pewien szczególny wypadek funkcji ancestralnej. W pracy niniejszej zajmiemy się zagadnieniem konstrukcji takiej funkcji w naszym systemie.

W § 2 omówimy pomocnicze pojęcie skończonego zbioru wyrażeń, które ułatwi nam w dużym stopniu powyższą konstrukcję.

W § 3 zbudujemy definicję funkcji ancestralnej jednej zmiennej i udowodnimy układ podstawowych twierdzeń, którym nasza funkcja czyni zadość.

§ 4 stanowić będzie uogólnienie naszej metody na funkcje ancestralne wielu zmiennych.

Wreszcie w § 5 podamy kilka zastosowań funkcji ancestralnych, które pozwolą nam ocenić, jak ważną rolę odgrywają one w rozbudowie systemu logiki semantycznej.