Kryteria rozłączności i niezależności

Twierdzenia §. 4. mają charakter pomocniczy, gdyż są konieczne do dowodu bardzo ogólnych twierdzeń, którymi zajmiemy się poniżej.

Twierdzenie (R). Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby schematy fundamentalne SM, TN były rozłączne jest, aby ich rzędy M, N były wyrażeniami różnymi.

Konieczność naszego warunku wynika natychmiast i Tw. 6., a jego wystarczalność z Tw. 4 i Tw. 5.

Twierdzenie (N). Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby schematy fundamentalne SM, TN były niezależne jest, aby żadne z wyrażeń M, N nie było w drugim zawarte.

Dowód: (a) Zakładamy, że schematy SM, TN są niezależne. Gdyby wyrażenie M było zawarte w N, to na mocy Tw. 7. M byłoby wartością stałą jednego z elementów schematu TN, a na podstawie Tw. 6. również wartością stałą schematu SM. Schemat SM nie byłby zatem rozłączny ze wszystkimi elementami schematu TN, co przeczy przyjętemu założeniu. W analogiczny sposób wykazujemy, że również N nie może być zawarte w M.

(b) Zakładamy, że żadne z wyrażeń M, N nie jest w drugim zawarte. Oznaczmy przez E dowolny element schematu SM. Na mocy Tw. 8. E ma kształt SL przy czym L jest wyrażeniem zawartym w M, a więc na podstawie założenia różnym od N. Stosując Tw. (R) w wypadku, gdy schemat SL jest schematem fundamentalnym, wnioskujemy SLTN, czyli ETN. W wypadku przeciwnym widzimy łatwo, że wyrażenie L musi być równe 1, schemat E ma zatem kształt S1. Ponieważ N jest różne od 0 (w przeciwnym wypadku N byłoby zawarte w M, więc Tw. 1, 3 pozwalają i teraz stwierdzić ETN. Schemat TN jest zatem rozłączny ze wszystkimi elementami schematu SM. W zupełnie analogiczny sposób wykazujemy, że także schemat SM jest rozłączny ze wszystkimi elementami schematu TN. Stąd wniosek, że SM, TN są schematami niezależnymi.

Twierdzenie (N) posiada podstawowe znaczenie dla konstrukcji języka symbolicznego nauk dedukcyjnych. Pozwala ono przy użyciu najprostszego alfabetu wprowadzić dowolną ilość fundamentalnych pojęć bez obawy o jakąkolwiek dwuznaczność. Wystarczy w tym celu zauważyć, że istnieją ciągi nieskończone schematów fundamentalnych parami niezależnych, np.

∗I(α)II(α'), ∗∗I(α)0(α')II(α''), ∗∗∗I(α)0(α')0(α'')II(α'''), ∗∗∗∗I(α)0(α')0(α'')0(α''')II(α'''').

Rzędy schematów tego ciąga tworzą ciąg:

∗I II, ∗∗I0II, ∗∗∗I00II,∗∗∗∗I0000II

Widzimy łatwo, że dowolna para wyrażeń tego ciągu czyni zadość warunkowi niezależności. Ponadto wśród schematów tego ciągu znajdziemy schematy fundamentalne o dowolnej ilości liter pomocniczych, które posłużyć nam mogą jako definicje najbardziej nawet złożonych pojęć pierwotnych danej nauki.