Pojęcie schematu

Do rozbudowy systemu logiki używamy kilku fundamentalnych pojęć i terminów pierwotnych, a wszelkie inne pojęcia wprowadzamy drogą definicji. Tak np. fundamentalnymi pojęciami semantyki elementarnej, rachunku zdań i rachunku predykatów są odpowiednio pojęcia: podstawienia (EFGH), operatora Sheffera ∣EF i kwantyfikatora ogólnego ∏ EF. Wymienione symbole czytamy kolejno: wyrażenie H jest wynikiem podstawienia wyrażenia G za wyrażenie F we wyrażeniu E; sąd E jest fałszywy lub sąd F jest fałszywy; dla wszystkich E zachodzi F.

Ponieważ znaki ( , ), ∣, ∏ nie należą do naszego alfabetu, musimy wprowadzić je drogą definicji przy pomocy znaków fundamentalnych ∗, c. Mogłoby wydawać się, że możemy to uczynić w zupełnie dowolny sposób, określając np. symbole (EFGH), ∣ XY jako skróty wyrażeń ∗ ∗ ∗EFGH, ∗XYXY. Skróty takie należy rozumieć w ten sposób, że w każdym konkretnym wypadku, gdy dane są wyrażenia E, F, G, H, X, Y to zamiast wyrażeń ∗ ∗ ∗EFGH, ∗XYXY piszemy krótko (EFGH), ∣ XY. Przyjmując powyższą umowę, nadajemy równocześnie pewnym wyrażeniom określone znaczenia. Np. wyrażenie ∗∗∗ c c c c znaczyłoby przy naszej definicji podstawienia, że c jest wynikiem podstawienia c za c w c, a wszystkie wyrażenia kształtu ∗∗∗EFGH zaliczylibyśmy do kategorii 1 a) § 2. Sprawy podziału wyrażeń na zbiory 1 a) i 1 b) nie będziemy tu jednak poruszać[1], gdyż jest już ona dokładnie opracowana a definicje fundamentalnych pojęć rozważymy z punktu widzenia uwag wstępnych (§ 1).

Otóż zestawiając ze sobą wyrażenia ∗∗∗ EFGH, ∗X YX Y widzimy natychmiast, że mogą one być identyczne w wypadku gdy E, F, G, H, X, Y są odpowiednio równe wyrażeniom c, c, c, ∗ c ∗ ∗ ∗cccc, ∗ ∗ ccc, c.

Stosując nasze skróty moglibyśmy zatem odczytać wyrażenie ∗∗∗ ccc ∗ c ∗∗∗cccc na dwa różne sposoby: (ccc ∗ c ∗ ∗ ∗cccc), ∣ ∗∗ cccc, a więc jednemu wyrażeniu nadać dwa różne znaczenia.

Powyższe rozumowanie prowadzi do wniosku, że definicje fundamentalnych pojęć nie mogą być przyjęte dowolnie, ale muszą czynić zadość pewnym warunkom. Aby warunki te dokładnie sformułować, wprowadzimy najpierw kilka pojęć pomocniczych.

Litery α, α', α'', α''' nazywać będziemy literami pomocniczymi.

Pojęcie schematu określamy indukcyjnie:

(2a) wyrażenie c i litery pomocnicze są schematami,

(2b) jeśli E, F są schematami, to ∗ EF jest schematem.

Przykłady schematów: c, ∗ cα, ∗ ∗ cα α',∗ ∗ ∗cα α' α'',...

3. Każdy schemat, prócz wyrażenia c i liter pomocniczych, zawarty w schemacie E, nazywamy elementem schematu E.

Np. elementami schematu ∗ ∗ ∗ c α α' α'' są schematy: ∗ cα, ∗ ∗ cα α', ∗ ∗ ∗cα α' α''.

4. Dowolne wyrażenie, będące wynikiem podstawienia dowolnych wyrażeń za wszystkie litery pomocnicze schematu E, nazywamy wartością stałą tego schematu.

Np. wartościami stałymi schematu ∗ ∗ cα α' są wyrażenia: ∗ ∗ccc, ∗ ∗ cc ∗ cc, ∗ ∗c ∗ ccc, ∗ ∗c ∗ cc ∗ cc,...

5. Schematy nie posiadające wspólnych wartości stałych nazywamy rozłącznymi. Schematy E i F nazwiemy niezależnymi, jeśli każdy z nich jest rozłączny ze wszystkimi elementami drugiego.

Np. widzimy z łatwością, że schematy: ∗ α α, ∗ α ∗ α α są rozłączne, schematy zaś: ∗ α ∗ α α, ∗ ∗ α α α niezależne.

Do definicji pojęć (EFGH), ∣EF użyliśmy poprzednio schematów α α' α'' α''', α α' α α'. Okazało się, że nie są one schematami rozłącznymi. Jeżeli do wprowadzenia wszystkich fundamentalnych pojęć, użyjemy schematów rozłącznych, otrzymamy język symboliczny wolny od wieloznaczności. Różne powody o charakterze metamatematycznym, których tu przytaczał nie będę, przemawiają za tym, że schematy takie oprócz warunku rozłączności winny również spełniać warunek niezależności, który stanowi jego zaostrzenie. W dalszym ciągu wykażemy, że można skonstruować dowolną ilość schematów parami niezależnych zawierających dowolną ilość liter pomocniczych.

Tutaj pragnę jeszcze zaznaczyć, że wszystkie rozważania dotyczące schematów nie należą do samej semantyki i mają dla nas znaczenie tylko intuicyjne zapewniając nam poprawność wprowadzanych definicji. Jeśli jednak użyjemy systemu semantyki teoretycznej złożonego z kilku pięter z których każde następne stanowi metamatematykę w stosunku do poprzednich, to nasze rozważania przeprowadzimy w sposób najzupełniej ścisły, a uzyskane twierdzenia nie będą się niczym różnić od zwyczajnych twierdzeń semantycznych.