Schematy fundamentalne

Ze zbioru wszystkich schematów wyróżnimy schematy o pewnej specjalnej budowie, które nazywać będziemy fundamentalnymi. Schematy fundamentalne dzielić będziemy na typy i rzędy. Podział ten jest konieczny do wysłowienia ważnych twierdzeń. Przyjmujemy najpierw następujące skróty, w których E oznacza dowolny schemat:


0(E) jest skrótem schematu ∗EE,
I(E) jest skrótem schematu ∗ 0(E) 0(E),
I(E) jest skrótem schematu ∗ 0(E) 1(E),
II(E) jest skrótem schematu ∗ 1(E) 0(E),
0 jest skrótem wyrażenia ∗ cc,
1 jest skrótem wyrażenia ∗ 00,
2 jest skrótem wyrażenia ∗ 11,
3 jest skrótem wyrażenia ∗ 22,
.         .         .         .         .         .
I jest skrótem wyrażenia ∗ 01,
II jest skrótem wyrażenia ∗ 10,

6. Pojęcie schematu fundamentalnego wprowadzamy drogą indukcyjną:

(6a) Schematy 0(α), 0(α'), 0(α''),... nazywamy
sch. fund. typu 1, rzędu 0
Schematy I(α), I(α'), I(α''),... nazywamy
sch. fund. typu 1, rzędu I
Schematy II(α), II(α'), II(α''),... nazywamy
sch. f und. typu 1, rzędu II

(6b) Jeśli E jest sch. fund. typu T, rzędu M, jeśli F jest sch. fund. typu 1, rzędu N, jeśli wyrażenia M, N są różne, to ∗EF jest sch. fund. typu ∗TT rzędu ∗MN.

Na podstawie reguły 6 sprawdzamy łatwo, że schematy typu 2 dzielą się na 6 różnych rzędów: ∗0I, ∗0II, ∗I0, ∗ I II, ∗II0, ∗II I. Przedstawicielami tych rzędów są np. kolejno schematy: ∗0(α)I(α'), ∗0(α'')II(α'), ∗I(α''')0(α'''), ∗I(α'')II(α), ∗II(α')0(α), ∗II(α)I(α).

Dalej mamy 6.3 =18 różnych rzędów sch. fund. typu 3,
6.3 2 =54 różnych rzędów sch. fund. typu 4 itd.

Typ schematu fundamentalnego wskazuje nam ilość elementarnych pozycji tego schematu, rząd zaś podaje ich rozmieszczenie.

Przystępujemy teraz do wysłowienia szeregu twierdzeń o schematach fundamentalnych. W tym celu schematy fundamentalne oznaczać będziemy literami S, T, a typ i rząd zaznaczać będziemy przy pomocy wskaźników górnych i dolnych. Tak np. S1 1 oznaczać będzie dowolny schemat fundamentalny typu 1, rzędu 1. Ponadto S1 lub T1 oznaczać będzie którykolwiek ze schematów,
1(α),1(α '),1(α''),... pomimo, że schematy te nie zaliczamy do fundamentalnych. Wreszcie znak ⋕ umieszczony pomiędzy dwoma schematami oznaczac będzie ich rozłączność.


          ⎧SIS0S1
Tw. 1 ⎨SIIS0S1
          ⎩SISII

Słuszność tego twierdzenia wynika natychmiast z uwagi, że dla wartości stałych schematów S0, S1 zachodzi identyczność lewej i prawej części, podczas gdy wartości stałe schematu mają zawsze prawą część dłuższą od lewej, a wartości stałe schematu Sn odwrotnie. Przez lewą, wzgl. prawą część wyrażenia kształtu ∗EF rozumiemy tu wyrażenie E, wzgl. F. Wyrażenia 3 podstawowych typów, które tu spotkaliśmy, nazywamy także symetrycznymi, prawostronnymi i lewostronnymi.

Tw. 2. S2S0, S1, SI, S II .

Dowód: Z budowy schematu S2 i Tw. 1. wynika natychmiast, że wartości stałe schematu S2 są wyrażeniami niesymetrycznymi. Mamy zatem S2S0, S1. Widzimy również łatwo, że wartości te mają kształt ∗ EF, przy czym jedno przynajmniej z wyrażeń E, F jest niesymetryczne, w przeciwieństwie do wartości stałych schematów SI, SII które mają postać ∗ GH, gdzie oba wyrażenia G, H są symetryczne Stąd wniosek, że zachodzi również
S2SI, S II .

Tw. 3. S2S0, S1, SI, S II . dla n ≥ 2

Dowód prowadzimy indukcją względem n. Dla n = 2 twierdzenie nasze jest słuszne na podstawie Tw. 2.

Przypuśćmy więc, że twierdzenie nasze zachodzi dla n = k (k ≥ 2). Aby wykazać jego słuszność dla n = k +1 zauważmy najpierw, że schemat Sk + 1 ma kształt ∗ Sk S 1. Na mocy naszego założenia mamy SkS0, S1, S II ., czyli Sk S 1. Ponieważ schematy Sk , S 1 nie mają wspólnych wartości stałych, więc wartości stałe schematu ∗ Sk S 1czyli Sk + 1nie mogą być symetryczne. Stąd wniosek Sk + 1S0, S1

Przypuśćmy teraz, że schematy Sk + 1, czyli ∗ Sk S 1 i S1, czyli ∗ S0, S1 mają wspólne wartości stałe. Wynikłoby stąd natychmiast, że również schematy Sk i S0 mają wspólne wartości, co jest sprzeczne z założeniem, że Tw. 3. zachodzi dla n = k. Mamy zatem Sk + 1S1, a wyzyskując założenie SkS1 otrzymamy w sposób analogiczny Sk + 1SII.

Tw. 4. SnSm dla n ≥ 2 przy wszelkich m spełniających warunek
n > m ≥1

Dowód prowadzimy indukcją względem n. Dla n = 2 mamy S2S1 na mocy Tw. 3.

Załóżmy, że twierdzenie nasze zachodzi dla n = k (k ≥ 2).

Aby uzasadnić jego słuszność dla n = k + 1 przypuszczamy k + 1 > m > 1. Jeśli m = 1, mamy Sk + 1S1 znów na podstawie Tw. 3. Wystarczy zatem rozważyć wypadek m > 1. czyli m - 1 ≥ 1. Otóż schemat Sk + 1 ma kształt ∗ Sk S1, schemat zaś Sm jest kształtu ∗ Sm - 1 S1 przy czym zachodzi k > m - 1 ≥ 1. Gdyby więc schematy Sk + 1 czyli ∗ Sk S1 i Sm , czyli ∗ Sm - 1 S1 miały wspólne wartości stałe, to również schematy Sk i Sm - 1 miałyby wspólne wartości stałe, wbrew założeniu, że twierdzenie nasze zachodzi dla n = k.

Tw. 5. SnMTnN dla n ≥ 1, jeśli rzędy M, N są różne.

Dowód prowadzimy indukcją względem n. Dla n = 1 mamy SM, ⋕ TN na mocy Tw. 1.

Załóżmy, że twierdzenie nasze zachodzi dla n = k (k ≥ 1) i że schematy SMk + 1 i TNk+1 mają różne rzędy M, N. Schematy te mają zatem kształt ∗SkE S1F, ∗ TkG T1H przy czym M jest identyczne z wyrażeniem ∗EF, N zaś z wyrażeniem ∗GH. Musi więc być E różne od G lub F różne od H. W pierwszym wypadku mamy SkE TkG, w drugim S1FT1H gdyż dla n = k słuszność naszego twierdzenia jest założona, a dla n =1 poprzednio uzasadniona. Stąd wnioskujemy natychmiast ∗SkE S1F⋕ ∗ TkG T1H czyli SMk+1TNk+1.

Tw. 6. N jest wartością stałą schematu schematu SnN.

Tw. 7. Dowolne wyrażenie różne od c i zawarte w rzędzie schematu Sn jest wartością stałą jednego z jego elementów.

Tw. 8. Jeśli schemat E jest elementem schematu SnN to E ma kształt SM, przy czym M jest zawarte w N (wyrażenie M może tu być równe wyrażeniu 1; w tym jedynym wypadku E nie jest schematem fundamentalnym).

Dowody Tw 6, 7, 8 uzyskujemy z łatwością, stosują indukcję względem n.